天才哈密顿，从四元数中构造出的代数系统，可以同非欧几何相媲美

毫无疑问，威廉·罗恩·汉密尔顿是爱尔兰历史上最伟大的科学家日前，汉密尔顿出生在爱尔兰的都柏林他的叔叔是一位有成就的语言学家——他能脱口而出希腊语，拉丁语，希伯来语，梵语，闪米特语，巴利语和各种方言在叔叔的影响下，汉密尔顿3岁的时候英语就很好了他4岁时就是一名优秀的地理学家，5岁能阅读和翻译拉丁文，希腊文和希伯来文，8岁时，他掌握了意大利语和法语他也能用拉丁语即兴创作最后，他在不到10岁的时候就开始学习阿拉伯语和梵语，这为他在东方语言方面非凡的学术成就打下了坚实的基础汉密尔顿在13岁时成为历史上最令人震惊的语言怪物之一

汉密尔顿12岁时，在伦敦威斯敏斯特学校认识了从事计算的美国孩子科尔伯恩科尔伯恩在科学上给了汉密尔顿一些启示17岁时，汉密尔顿通过积分学掌握了数学，并获得了足够的数学天文学知识，这使他能够计算日食和月食他研究了牛顿和拉格朗日的著作所有这些都是他的业余消遣

汉密尔顿提到的这个发现，可能是他第一个伟大研究的开始——光学中的射线系统在此之前，他已经在拉普拉斯试图证明平行四边形力定律的过程中发现了一个错误

汉密尔顿进大学之前从未上过学他所有的初级训练都来自于他的叔叔和自学

在光学方面，我有一个非常奇怪的发现——至少我是这样认为的...

这里指的是特征函数，它标志着汉密尔顿堪比历史上任何一位真正的年轻数学家日前，年轻的汉密尔顿在100名申请者中轻松获得第一名，进入三一学院他很快成为名人当他还是一名大学生时，他在古典文学和数学方面的杰出才能引起了英格兰，苏格兰和爱尔兰学术界人士的好奇有人甚至宣称第二个牛顿已经出现最重要的是，他完成了关于射线系统的标志性论文第一部分的初稿

这个年轻人，我不是说他会成为他那一代的第一数学家，而是说他是他那一代的第一数学家。

汉密尔顿在三一学院的大学生涯的结束比它的开始更令人惊讶布林克利博士辞去了天文学教授的职务按照英国通常的习俗，空缺的教授职位被登广告，包括后来的皇家天文学家乔治·比德尔·艾里在内的几位著名天文学家参加了竞争理事会经过讨论，放弃了所有申请人，一致推选当时22岁的大学生汉密尔顿为教授，但汉密尔顿没有申请

他开始做得很好汉密尔顿明智地把主要精力投入到数学上23岁时，他发表了自己作为17岁孩子所做的那些奇怪的发现的完整形式，即射线系统理论的第一部分，这是一部伟大的杰作它对于光学就像拉格朗日的分析力学对于力学一样它被扩展到汉密尔顿自己手中的动力学，这一基本学科以其可能是最终和完美的形式表达出来

在光学中，一束光被认为是光传播的直线或折线或曲线，光线系统被认为是这些线的集合，这些线通过一些共同的联系，起源或产生的一些相似性，总之，一些光学统一性而结合在一起因此，从发光点发出的光构成了一个光学系统当它们被反射回镜子时，就形成了另一个光学系统研究光线在一个我们知道其光学起源和历史的系统中的几何关系，探索它们是如何配置的，它们是如何发散或会聚或变成平行的，它们是如何相切或切割成什么样的曲面或曲线，它们如何组合成部分光束，它们如何确定每一条特定的光线并将其与其他光线区分开来，这些都是研究光线系统所必需的

为了推广这类系统的研究，使其可以在不改变程序的情况下过渡到其他系统，同时为了确定一般的规则和一些一般的方法，通过这些规则和方法可以将这些孤立的光学器件组合和协调起来，有必要构建射线系统理论最后，为了利用现代数学的力量做到这一点，用函数代替图形，用公式代替图表，需要构建这些系统的代数理论，即代数在光学中的应用

要构造这样一个应用，就必须使用笛卡尔将代数应用于几何所采用的方法在一般的科学进步中，空间的三维已经获得了它们的三个代数等价体，以及适当的概念和符号这样，把平面或曲面上任意一点的三个坐标之间的关系作为平面或曲面的方程，曲面就变成代数定义的了，并推所有点，那么，一条直线或一条曲线就可以用同样的方法指定两个这样的关系来表示这样的关系对应两个曲面，直线可以看作它们的交线这样，通过对相应的三个变量方程的一般研究，以及对曲面和曲线的一般研究，就有可能找到所有的共同性质，即使每一个几何问题都不能马上解决，但它们至少可以用代数来表示，所以代数中的每一个改进或发现都可以在这个几何中得到应用或解释

空间和时间的科学是紧密地交织在一起，密不可分的从此，提高一门学科就能提高另一门学科画一条曲线的切线的问题导致了流数或微分学的发现，那些求长求积的问题导致它的反演，也就是积分学，曲面和曲率的研究需要偏微分的微积分，等周问题导致变分理论的形成相反，代数科学中所有这些伟大的步骤都直接应用于几何，这导致了点或线或面之间新关系的发现所以，即使这种新方法的应用不是那么多样和重要，但把它当作一种方法来思考，并从中获得高度智慧，仍然会有乐趣

这种坐标代数方法在光学系统中的第一次重要应用是由法国工程师马卢完成的，他是拿破仑在埃及军队中的一名军官他被认为是物理光学史上反射光偏振的发现者1807年，鲁向法兰西学院提交了一部深奥的数学著作，就属于上面提到的那种类型，书名是《光学专论》那篇论文中使用的方法可以描述如下:任何光学系统中的直射光的方向被认为取决于光上特定点的位置，它遵循表征特定光学系统并将其与其他系统区分开来的某种规律，这个规律可以通过确定这条射线上任意一点的三个坐标的表达式，即任意一点的三个坐标的函数，用代数的方法表示出来

因此，鲁采用了代表这三种功能的一般符号，通过非常复杂但对称的计算，得出了几个重要的一般结论这些结论中的许多，还有许多其他的，后来我都想到了那时候我还不知道马陆做过什么我开始尝试以几乎相同的方式将代数应用于光学但是我的研究很快让我使用了一种非常不同的方法，这种方法更适合光学系统的研究，而不是Malu的方法由于不需要用到上面提到的三个函数，或者至少是它们的两个比值，所以这种方法只用到了一个函数，我称之为特征函数，或者主函数就这样，他通过建立一条光线的两个方程来进行推理另一方面，我建立并使用了一个系统的方程

从任何一个第一点到任何一个第二点，光都会消耗一定的量——在一个物理理论中，是作用的量，在另一个理论中，是时间，如果路径的两端保持不变，那么光就走实际路径，与它走的任何其他路径相比，实际路径消耗的能量最少，用专业的语言来说就是变成零我的数学方法的新思想是，首先，把这个量看作这些端点坐标的函数根据我所说的可变作用量定律，当坐标变化时，作用量也变化，其次，所有对光的光学系统的研究都简化为对这个函数的研究:数学光学的简化是从一个全新的角度给出的，类似于笛卡尔给出的代数应用于几何的简化

汉密尔顿的解释不需要补充什么第二遍阅读整个摘要可能会更有收获在这个关于射线系统的伟大工作中，汉密尔顿甚至建造了一些比他知道的更好的东西在上述摘要写出来差不多100年后，发现哈密顿引入光学的方法，正是与现代量子论和原子结构理论相关的波动力学所需要的方法回想一下牛顿对光发射或粒子理论的偏爱，而惠更斯则试图用光的波动理论来解释光的现象这两种观点在现代量子论中是结合在一起的，在纯数学意义上是协调的现代量子理论形成于1925年1843年，28岁的汉密尔顿实现了把光学原理扩展到整个动力学的雄心

哈密尔顿对光学中圆锥折射的预言是定性和定量的基于他的光线系统理论，他从数学上预言了一个完全出乎意料的现象将会在双轴晶体中的光折射中被发现当他在思考他的论文《光》第三期增刊时，一个发现让他自己都大吃一惊

在某些情况下，在双轴晶体中，对应于单个入射光线或由单个入射光线产生，应该有多于两个，多于三个以及多于任何有限数量的折射光线，但是有无限数量的折射光线或折射光线锥体，在其他情况下，在这样的晶体中，一条光线会产生无限多条排列在另一个圆锥体中的光线因此，他从理论上预见了光的两个新定律，并命名为内锥折射和外锥折射

这一预言，以及汉弗莱·劳埃德的实验对它的证实，使汉密尔顿得到了无限的赞誉根据一些人的看法，这一惊人的成功是汉密尔顿职业生涯的顶峰，在这部关于光学和动力学的巨著之后，汉密尔顿衰落了还有人认为汉密尔顿最伟大的工作还没有完成——这就是四元数理论汉密尔顿自己也认为这是他的杰作，是杰作让他永垂不朽

四元数的历史太长，这里无法全面介绍，甚至高斯在1817年的预言也不是这个领域的开端，欧拉以一个孤立的结果领先于高斯，这个结果可以用四元数最简单地解释四元数的起源可以追溯到更远，因为德·摩根曾经半开玩笑地提议为汉密尔顿追溯他们从古印度到维多利亚女王的历史可是，我们只需要在这里看一下这个发现的主要部分

19世纪上半叶，英国学派的代数学家在自己的基础上建立了普通代数他们谨慎而严格地预见了发展任何数学分支的当前步骤，并在公设基础上建立了代数在此之前，当所有的代数方程都被假设有根时，进入数学的各种数——分数，负数，无理数——都被允许在与普通正整数相同的基础上工作习惯使然，普通正整数如此过时，以至于所有数学家都认为它们是自然的将一个系统建立在数学符号的盲目和形式技巧上，并天真地相信它的自洽性，这似乎有点愚蠢

这种轻信在形式永恒原则中达到了顶峰，这实际上意味着对一类数——比如正整数——产生一致结果的一套规则，在应用于任何其他类型的数——比如虚数——时，将继续产生一致性，即使结果还没有得到清楚的解释相信无意义符号的完美，往往会导致荒谬

在这一点上，必须记住，代数只讨论有限的过程当无穷过程进入的时候，比如无穷级数求和的时候，我们就超越了代数，进入了另一个领域之所以强调这一点，是因为通常的初等课本中标注的代数包含了很多不是现代意义上的代数的东西——比如无穷几何级数

汉密尔顿在创造四元数时所做的事情的本质在一组普通代数的公设的上下文中更清楚地显示出来。

域F是由集合S和元素A，B，C，...以及两种运算，称为加法和乘法，可以在S的任意两个元素A和B上实现，按此顺序产生S唯一的定元素。

使假设I—v满足为简单起见，我们用a+b和ab代替上述结果，分别称之为A和B的和与积另外，s的元素称为f的元素

I .若A和B是F的任意两个元素，则a+b和ab是F仅有的定元素，且

二。如果A，B，C是F的任意三个元素，那么

ⅲ.F中有两个不同的元素，标记为0和1，这样如果A是F的任意元素，那么a+0=a，A1 = A。

ⅳ无论元素A of F是什么，F中总有一个元素X，使a+x=0。

动词 不管f的元素A是什么，f中总有一个元素Y，所以ay=1。

整个一般代数都是从这些简单的公设中推导出来的这样的一套公设可以看作是经验的浓缩许多世纪以来，人们根据算术定律使用数学并得到有用的结果——他们是凭经验得到的这种实践启发了这些精确公设中包含的大部分定律，但一旦他们理解了经验的启发，经验提供的解释就被有意地隐藏或遗忘了由公设定义的系统是由普通逻辑加上数学智慧在自身价值上抽象发展出来的

如果像往常一样，I表示根号—1，那么一个复数就是α+bi类型的数，其中a和b是实数汉密尔顿不把α+bi看作数，而是把它想象成一对有序的数，他记为这种处理复数的新方法的一个优点是，偶数的和与积的定义被看作是一个域中和与积的一般抽象定义的例子因此，如果证明了由定义域的公设定义的系统的一致性，则无需进一步证明，就可以得出关于复数以及它们组合所依据的共同规则的类似结论汉密尔顿认为复数是偶数，在等理论中，给出和与积的定义就足够了

与的和为，是定义域中的0，1对应于这里的，有了这些定义，很容易证明哈密尔顿数对满足为一个域陈述的所有公设，但是它们也符合复数运算的形式规则所以a+bi，c+di分别对应and ，它们的形式and是+I ，对应偶数再者，a+bi，c+di的形式积产生+i，对应偶数

汉密尔顿用数对处理复数后，试图把他的想法推广到三倍或四倍的数，否则，这样的工作就没有意义了汉密尔顿的目的是发明一种代数，这种代数对三维空间中的旋转的作用与复数或其数对对二维空间中的旋转的作用相同，两者都像初等几何中的欧几里得空间现在可以认为，复数a+bi代表一个向量，也就是既有长度又有方向的线段

可是，在试图将向量在三维空间中的行为符号化时，为了保持那些在物理中，尤其是在旋转系统中使用的向量的性质，汉密尔顿被一个意想不到的困难阻挡了很多年很长一段时间，他甚至都没有猜出这个困难的真实性质

汉密尔顿反对代数的纯粹抽象和假定的系统阐述他试图在一些更真实的基础上建立代数对于这种无意义的原因，他利用了康德被非欧几何的创立所反驳的错误观点，即他把空间看作是感官直观的纯粹形式的确，我好像不知道非欧几何的哈密顿量遵循康德的信念时间和空间是知识的两个源泉，各种先验的综合知识都可以从中汲取在这方面，就我们对空间及其各种关系的理解而言，纯数学提供了一个极好的例子因为它们是纯粹的感官直观，所以反映了综合命题的先验可能性

当然，今天任何一个不是完全无知的数学家都知道康德的数学概念是错误的，但是在19世纪40年代，当汉密尔顿在走向四元数的路上时，康德的数学哲学对于那些从未听说过罗巴切夫斯基的人来说仍然是有意义的汉密尔顿用一个看似糟糕的数学双关语将康德的理论应用于代数，并得出一个奇怪的结论:因为几何是空间的科学，因为时间和空间是直觉的纯感觉形式，所以数学的其余部分一定属于时间，他浪费了大部分时间来锤打一个奇怪的理论，即代数是纯时间的科学

为了理解这个问题的难度，需要牢记的是，普通复数a+bi已经通过平面上的旋转给出了简单的解释，并且复数服从普通代数的所有规则，尤其是乘法交换率:如果A和B是任意复数，那么A×B=B×A，不管A和B是用代数还是平面上的旋转来解释然后，似乎很自然地预测，同样的交换律将适用于在三维空间中表示旋转的复数的推广

汉密尔顿的伟大发现是一个代数，一种三维空间中旋转的自然代数，其中的交换律不成立在这个四元数的哈密顿代数中，有一个乘法，其中A×B不等于B×A，而是等于负B×A，即A× B =—B× A

我们可以抛弃乘法交换定律，构造一个兼容的，实用的代数系统，这是一流的发现，可能堪比非欧几何的形成有一天，汉密尔顿和妻子外出散步，走到一座桥上时，他突然有一种醍醐灌顶的感觉，以至于把新代数的基本公式刻在了桥面上他的伟大发现直到今天仍然指导着代数到其他代数事实上，数学家们追随汉密尔顿的脚步，通过否定一个或多个场的公设并发展其结果，随意创造了各种代数其中一些代数非常有用，汉密尔顿的伟大发明也包含在包含许多代数的通论中

根据哈密尔顿的四元数，出现了近两代物理学家喜欢的各种矢量分析今天，所有这些东西，包括四元数，只要和物理应用有关的，都被1915年和广义相对论一起流行起来的极其简单和普遍的张量分析搁置了

最后，汉密尔顿最深的悲剧在于，他固执地认为四元数是解决物理宇宙数学的关键历史证明，他可悲地欺骗了自己没有一个伟大的数学家如此大错特错

汉密尔顿生命的最后22年几乎完全致力于四元数的详细阐述，包括它们在动力学，天文学和光的波动理论中的应用他于1865年9月2日死于痛风，享年61岁

一个热爱劳动和真理的人我希望我的墓志铭也是如此

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